Question

【題目】在單位正內任取一點P，以PA、PB、PC為邊生成．

（1）當分別為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形時，求出點P的軌跡．

（2）證明：當的周長取最小值時，面積取最大值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

如圖，記．

將繞點B逆時針旋轉得，則，．就是由PA、PB、PC所組成的，且其三個內角，，．

（1）當存在時，為直角三角形．

由，知．

所以，點P在三個單位圓的弧AB、BC、CA上（圖）．

當存在時，為鈍角三角形．

由，知．

由圓內角大于圓周角知，點P在圖中的三個弓形內（陰影部分，不包括邊界）．

當，，同時成立時，為銳角三角形，得，，．

由圓外角小于圓周角知，點P在圖8中的三個圓弧外（曲邊內部，不包括邊界）．

（2）先確定周長取最小值時點P的位置．為此，將如圖的繞點B逆時針旋轉得，聯結MC、PN．則折線．

當且僅當M、N、P、C四點共線時，的周長取最小值．此時，有，即點P為的中心（）．

下面說明，這恰好是面積取最大值的條件．

在中，由余弦定理和基本不等式有，

故．當且僅當時，等號成立．

在中，．

由面積公式有

．

兩處放大的地方同時取等號當且僅當

由式②有．

所以，．

從而，，代入式①得．

這表明，PA、PB在的中線上，且相交于距頂點處，點P為中心．

所以，當點P為的中心時，的周長最短且面積最大，最大值為．