Question

【題目】已知定義在實數集上的函數，把方程稱為函數的特征方程，特征方程的兩個實根，稱為的特征根.

（1）討論函數的奇偶性，并說明理由；

（2）求表達式；

（3）把函數，的最大值記作、最小值記作，令，若恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當時，函數為奇函數：當時，函數為非奇非偶函數（2）（3）

【解析】

（1）分和討論即可；

（2）將表達式通分，再利用韋達定理代入即可；

（3）先求出在上的最值，再分析函數的單調性，求出，然后分離參數，求出參數的范圍.

（1）當時，，

所以，即為奇函數；

當時，因，，

所以，，

所以不是奇函數也不是偶函數.

（2）由題意，方程的兩個實根、，

即方程的兩個實根為、，，

∴，，，

∴

（3）由，則，

由（2）知方程的兩個實根為、，

則當時，恒成立，所以，恒成立

∴函數在上是單調遞增，

∴，

由恒成立，即恒成立，

∴恒成立，又，，則，

∴，

故的取值范圍為.