Question

已知曲線C：f（x）=x³-ax+a，若過曲線C外一點A（1，0）引曲線C的兩條切線，它們的傾斜角互補，則a的值為（　　）

• A、

  27

  8

• B、-2
• C、2
• D、-

  27

  8

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：導數的綜合應用

分析：求出原函數的導函數，設出切點坐標，由點斜式得到切線方程，再由點A在且線上得到關于切點橫坐標的方程，求得兩切點，再由兩切點處的導數互為相反數求得a的值．

解答： 解：由f（x）=x³-ax+a，得f′（x）=3x²-a，
設切點為(x0，x03-ax0+a)，
∴f′(x0)=3x02-a，
∴過切點的切線方程為y-x03+ax0-a=(3x02-a)(x-x0)，
∵切線過點A（1，0），
∴-x03+ax0-a=(3x02-a)(1-x0)，
解得：x₀=0或x0=

3

2

．
∴f′（0）=-a，f′(

3

2

)=

27

4

-a，
由兩切線傾斜角互補，得
-a=a-

27

4

，
∴a=

27

8

．
故選：A．

點評：本題考查了利用導數研究過曲線上某點處的切線方程，關鍵是注意給出的點是否為切點，是中檔題．