Question

已知函數f（x）=sinx+cosx，f′（x）是f（x）的導函數
（1）當x∈[0，

π

2

]時求函數g(x)=f(x)f′(x)+f2(x)的值域．
（2）在直角坐標系中畫出y=g(x)-1在[-

π

2

，

π

，2

]上的圖象．

Answer 1

分析：（1）利用導數的運算法則即可得到f′（x），再利用倍角公式及其平方關系即可f（x）f′（x）及f²（x），即可得到g（x），再利用兩角和的正弦公式即可h=化簡g（x），利用正弦函數的單調性即可得到函數g（x）的值域；
（2）利用“五點法”通過列表、描點、連線即可得到圖象．

解答：解：：（1）∵函數f（x）=sinx+cosx，∴f'（x）=cosx-sinx，
∴f（x）f′（x）=（sinx+cosx）（cosx-sinx）=cos²x-sin²x=cos2x，f²（x）=1+sin2x，
∴g（x）=cos2x+sin2x+1=

2

sin(2x+

π

4

)+1．
∵x∈[0，

π

2

]，∴(2x+

π

4

)∈[

π

4

，

5π

4

]，
∴sin(2x+

π

4

)∈[-

2

2

，1]，∴g(x)∈[0，

2

+1]．
（2）y=g（x）-1=

2

sin(2x+

π

4

)．x∈[-

π

2

，

π

2

]．
列表如右：
畫出圖象：

點評：熟練掌握導數的運算法則、倍角公式和平方關系、兩角和差的正弦公式、三角函數的“五點法”畫圖象及其性質等是解題的關鍵．