Question

【題目】已知橢圓C：1（a＞b＞0）的右焦點為F，離心率為，且有3a2＝4b2+1．

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）過點F的直線l與橢圓C交于M，N兩點，過點M作直線x＝3的垂線，垂足為點P，證明直線NP經過定點，并求出這個定點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）見解析，定點（2，0）．

【解析】

（1）運用橢圓的離心率公式和a，b，c的關系，結合條件，解方程可得a，b，進而得到橢圓方程；

（2）求得F的坐標，討論直線l不與x軸重合，設出直線l的方程，聯立橢圓方程，運用韋達定理和直線恒過定點的求法，可得所求定點；討論當直線l與x軸重合也成立．

（1）由e，所以11，

聯立方程組，解得a2=3，b2=2，

所以橢圓的方程為1；

（2）證明：由（1）可得F(1，0)，

當直線l不與x軸重合時，設直線l的方程為x=my+1，

聯立橢圓方程2x2+3y2=6，消去x可得(3+2m2)y2+4my4=0，，

設M(x1，y1)，N(x2，y2)，可得y1+y2，y1y2，

且點P(3，y1)，則NP的方程為(x2﹣3)y=(y2﹣y1)(x﹣3)+y1(x2﹣3)，

又x2=my2+1，所以(my22)y=(y2y1)(x3)+my1y22y1（*）

由y1+y2，y1y2可得my1y2=y1+y2，

則（*）式可變形為(my22)y＝(y2y1)(x3)y1+y2．

所以(my2﹣2)y＝(y2﹣y1)(x﹣2)，即直線NP經過定點(2，0)．

當直線l與x軸重合時，顯然直線NP也經過定點(2，0)，

綜上，直線NP經過定點(2，0)．