Question

7名身高互不相等的學生，分別按下列要求排列，各有多少種不同的排法？
（1）7人站成一排，要求較高的3個學生站在一起；
（2）7人站成一排，要求最高的站在中間，并向左、右兩邊看，身高逐個遞減；
（3）任取6名學生，排成二排三列，使每一列的前排學生比后排學生矮．

Answer 1

分析：（1）將較高的3個學生捆成一個元素，按“先捆綁，再松綁”的方法即可求得答案；
（2）最高的站在中間，從剩余的6名學生中選3名在左邊，剩余的3人在右邊即可求得答案；
（3）按先取后排（先排第一列，再排第二列，最后排第三列）即可．

解答：解：（1）將較高的3個學生捆成一個元素，與另4個學生構成5個學生自由排列有

A

5 5

種方法，捆成一個元素的三學生內部可自由排列，有

A

3 3

種方法，
∴共有

A

5 5

•

A

3 3

=720種；
（2）∵最高的站在中間，
∴從剩余的6名學生中選3名在左邊，剩余的3人在右邊，共有

C

3 6

•

C

3 3

=20種；      
（3）從7名身高互不相等的學生中選出6人有

C

6 7

種方法，再從6人中任選2人排在第一列（前矮后高），有

C

2 6

種方法，再從剩余的4人中選2人排在第二列（前矮后高），有

C

2 4

種方法，最后剩余的兩人排在第三列（前矮后高），有一種方法，由分步乘法計數原理可得共有

C

6 7

C

2 6

C

2 4

=630種方法．

點評：本題考查排列、組合及簡單計數問題，突出考查分步乘法計數原理的應用，考查理解與應用能力，屬于中檔題．