Question

（2010•溫州一模）已知B₁，B₂為橢圓C₁：

x2

a2

+y2=1(a＞1)短軸的兩個端點，F為橢圓的一個焦點，△B₁FB₂為正三角形，
（I）求橢圓C₁的方程；
（II）設點P在拋物線C₂：y=

x2

4

-1上，C₂在點P處的切線與橢圓C₁交于A、C兩點，若點P是線段AC的中點，求AC的直線方程．

Answer 1

分析：（I）先設F（c，0），根據△B₁FB₂為正三角形求出c值，再根據a²=c²+b²求出a，從而寫出橢圓C₁的方程；
（II）設A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），P（x₀，y₀），利用導數幾何意義求出直線AC的斜率，利用A，C在橢圓

x2

4

+y2=1上，將點的坐標代入橢圓方程后作差表示出直線AC的斜率從而解得x₀=0或x₀=±

2

最后得出點P的坐標及直線AC的方程．

解答：解：（I）∵B₁（0，-1），B₂（0，1），設F（c，0）
∵△B₁FB₂為正三角形
∴c=

3

 …（2分）
∴a²=c²+b²=4
∴橢圓C₁的方程是

x2

4

+y2=1…（4分）
（II）設A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），P（x₀，y₀）
∵函數y=

x2

4

-1的導數為y′=

x

2

∴直線AC的斜率 K_AC=

x0

2

…（6分）
∵A，C在橢圓

x2

4

+y2=1上，
∴

x12 4 +y12=1，(1) x12 4 +y12=1，(2)

  （1）-（2）得：

(x1-x2)(x1+x2)

4

+ (y1-y2)(y1+y2)=0…（9分）
∴直線AC的斜率k_AC=

y1-y2

x1-x2

=-

x1+x2

4(y1+y2)

=-

x0

4y0

=

x0

2

又∵

x02

4

+y02=1得
x₀（x₀²-2）=0，
解得：x₀=0或x₀=±

2

  …（13分）
當x₀=0時，P點坐標為（0，-1），直線AC與橢圓相切，舍去；
當x₀=±

2

 時，點P的坐標為（±

2

，-

1

2

），顯然在橢圓內部，
所以直線AC的方程是：y=±

2

2

x-

3

2

 …（15分）

點評：本小題主要考查橢圓的標準方程、圓錐曲線的綜合、直線與圓錐曲線的綜合問題等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于中檔題．