Question

已知函數f(x)=

3

x+1

，其定義域為[2，5]，
（1）用定義證明：函數f（x）在定義域[2，5]上為減函數．
（2）求函數f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）嚴格按照定義，先在區間[2，5]上任取兩個變量，且界定大小，再作差變形看符號，得到結論．
（2）由（1）得函數f(x)=

3

x+1

在區間[2，5]上為減函數．所以函數f（x）在端點處取得最值．

解答：（1）證明：任取x₁，x₂∈[2，5]，且x＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=

3

x1+1

-

3

x2+1

=

3[(x2+1)-(x1+1)]

(x1+1)(x2+1)

=

3(x2-x1)

(x1+1)(x2+1)

因為2≤x₁＜x₂≤5，得，x₂-x₁＞0，（x₁+1）（x₂+1）＞0
于是f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
所以函數f(x)=

3

x+1

在區間[2，5]上為減函數．
（2）解：由（1）得函數f(x)=

3

x+1

在區間[2，5]上為減函數．
所以函數f（x）在x=2時取得最大值，最大值為1；
在x=5時取得最小值，最小值為

1

2

．
所以函數的值域為[

1

2

，1]．

點評：本題主要考查函數的單調性及求最值，要注意在研究函數最值或值域時，一定要先研究單調性．