Question

某電器商經過多年的經驗發現本店每個月售出的電冰箱的臺數ξ是一個隨機變量，它的分布列為：P（ξ=i）=（i=1，2，…，12）；設每售出一臺電冰箱，電器商獲利300元．如銷售不出，則每臺每月需花保管費100元．問電器商每月初購進多少臺電冰箱才能使月平均收益最大？

Answer 1

解：設x為電器商每月初購進的冰箱的臺數，依題意，只需考慮1≤x≤12的情況．
設電器商每月的收益為y
則y是隨機變量ξ的函數，且
于是電器商每月獲益的平均數，即為數學期望
Ey=300x（P_x+P_x+1+…+P₁₂）+[300-100（x-1）]P₁+[2×300-100（x-2）]P₂+…+[（x-1）×300-100]P_x-1
==．
∵x∈N^*，
∴當x=9或x=10時，數學期望最大．
分析：根據題意設出變量，設x為電器商每月初購進的冰箱的臺數，依題意，只需考慮1≤x≤12的情況．設電器商每月的收益為y，列出關于x與y之間的關系式，寫出電器商每月獲益的數學期望，整理出最簡結果，根據二次函數的性質，求出結論．
點評：本題考查離散型隨機變量的期望，考查二次函數的性質，是一個綜合題目，這種題目是概率同函數結合的問題，一般比較困難，解題時注意自變量的取值范圍．