Question

（08年天津南開區質檢二文） （12分）

如圖，已知三棱柱的各棱長均為2，側棱與底面ABC所成的角為，且側面垂直于底面ABC。

（1）證明；

（2）求三棱錐的體積；

（3）求二面角的正切值。

 

Answer 1

解析：本小題考查直線與直線垂直、直線與平面垂直、平面與平面垂直、二面角等基礎知識，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力。

    （1）證明：在平面ABB₁A₁內，過B₁作B_­1D⊥AB于D

∵ 側面ABB₁A₁⊥平面ABC    ∴ B₁D⊥平面ABC

∴ ∠B₁BA是B₁B與底面ABC所成角，∠B₁BA=

∵ 三棱柱各棱長均為2，△ABB₁為正三角形

∴ D是AB中點，連CD，在正△ABC中，CD⊥AB

∴ AB⊥CB₁（4分）

（2）解：∵ B₁D⊥平面ABC    ∴ B₁D是三棱錐的高

由，得

∴ （8分）

（3）解：∵ △ABC為正三角形，CD⊥AB，CD⊥B₁D

∴ CD⊥平面ABB₁

在平面ABB₁中作DE⊥AB₁于E，連結CE，則CE⊥AB₁

∴ ∠CED為二面角的平面角（10分）

在中，

連結BA₁交AB₁于O，則BO=

∴    ∴

∴ 所求二面角的正切值為2（12分）