Question

已知橢圓C1：

x2

4

+

y2

3

=1和拋物線C₂：y²=2px（p＞0），過點M（1，0）且傾斜角為

π

3

的直線與拋物線交于A、B，與橢圓交于C、D，當|AB|：|CD|=5：3時，求p的值．

Answer 1

分析：先設出直線的參數方程，別代入橢圓、拋物線方程的到關于t的一元二次方程，設A、B、C、D的參數分別為t₁、t₂、t₃、t₄，利用根據與系數關系表示出|AB|：|CD|，從而得到所求．

解答：解：設直線方程是

x=1+ 1 2 t y= 3 2 t

(t是參數)，分別代入橢圓、拋物線方程得：
5t²+4t-12=0（1）3t²-4pt-8p=0（2）
設A、B、C、D的參數分別為t₁、t₂、t₃、t₄，
則|AB|=|t1-t2|=

4 p2+6p

3

，|CD|=|t3-t4|=

16

5

，由|AB|：|CD|=5：3解得p=2．

點評：本題主要考查了直線與橢圓和拋物線之間的有關問題，求解圓錐曲線的綜合題需畫出圖形理解題意，同時考查了直線的參數方程，以及參數方程的幾何意義，屬于中檔題．