Question

【題目】已知定義在上的函數存在零點，且對任意都滿足，若關于的方程（）恰有三個不同的根，則實數的取值范圍是____．

Answer 1

【答案】

【解析】

令函數y＝f（x）的零點為m，即f（m）＝0，則由對任意m，n∈R都滿足f[mf（m）+f（n）]＝f2（m）+n．可得f[f（x）]＝x，進而x的方程|f[f（x）]﹣3|＝1﹣logax（a＞0，a≠1）恰有三個不同的根，可轉化為|x﹣3|＝1﹣logax（a＞0，a≠1）恰有三個不同的根，根據對數函數的圖象和性質分類討論后，可得答案．

令函數y＝f（x）的零點為m，即f（m）＝0，

∵對任意m，n∈R都滿足f[mf（m）+f（n）]＝f2（m）+n．

則f[f（n）]＝n恒成立，

即f[f（x）]＝x，

若關于x的方程|f[f（x）]﹣3|＝1﹣logax（a＞0，a≠1）恰有三個不同的根，

即|x﹣3|＝1﹣logax（a＞0，a≠1）恰有三個不同的根，

當0＜a＜1時，函數y＝|x﹣3|與y＝1﹣logax的圖象如下圖所示：

由圖可知，函數y＝|x﹣3|與y＝1﹣logax的圖象有兩個交點，即關于x的方程|f[f（x）]﹣3|＝1﹣logax（a＞0，a≠1）恰有兩個不同的根，不滿足條件；

當1＜a＜3時，函數y＝|x﹣3|與y＝1﹣logax的圖象如下圖所示：

由圖可知，函數y＝|x﹣3|與y＝1﹣logax的圖象有一個交點，即關于x的方程|f[f（x）]﹣3|＝1﹣logax（a＞0，a≠1）恰有一個不同的根，不滿足條件；

當a＝3時，函數y＝|x﹣3|與y＝1﹣logax的圖象如下圖所示：

由圖可知，函數y＝|x﹣3|與y＝1﹣logax的圖象有兩個交點，即關于x的方程|f[f（x）]﹣3|＝1﹣logax（a＞0，a≠1）恰有兩個不同的根，不滿足條件；

當a＞3時，函數y＝|x﹣3|與y＝1﹣logax的圖象如下圖所示：

由圖可知，函數y＝|x﹣3|與y＝1﹣logax的圖象有三個交點，即關于x的方程|f[f（x）]﹣3|＝1﹣logax（a＞0，a≠1）恰有三個不同的根，滿足條件；

綜上所述，實數a的取值范圍是（3，+∞），

故答案為：（3，+∞）