Question

【題目】設f(n)是定義在N*上的增函數，f(4)＝5，且滿足：

①任意n∈N*，f(n) Z；②任意m，n∈N*，有f(m)f(n)＝f(mn)＋f(m＋n－1)．

（1）求f(1)，f(2)，f(3)的值；

（2）求f(n)的表達式．

Answer 1

【答案】（1）f(1)＝2，f(2)＝3，f(3)＝4；（2）f (n)＝n+1.

【解析】試題分析：（1）利用已知的表達式，通過 ，直接求，利用函數的單調性以及，即可求出的值；（2）利用函數的單調性及數學歸納法，推出 ，又，然后求出的表達式 .

試題解析：（1）因為f(1)f(4)＝f(4)＋f(4)，所以5 f(1)＝10，則f(1)＝2．

因為f(n)是單調增函數

所以2＝f(1)＜f(2)＜f(3)＜f(4)＝5．

因為f(n)∈Z，所以f(2)＝3，f(3)＝4．

（2）解：由（1）可猜想f (n)＝n+1．

證明：因為f (n)單調遞增，所以f (n+1)＞f (n)，又f(n)∈Z，

所以f (n+1)≥f (n)+1．

首先證明：f (n)≥n+1．

因為f (1)＝2，所以n＝1時，命題成立．

假設n=k(k≥1)時命題成立，即f(k)≥k+1．

則f(k+1)≥f (k)+1≥k+2，即n＝k+1時，命題也成立．

綜上，f (n)≥n+1．

由已知可得f (2)f (n)＝f (2n)＋f (n+1)，而f(2)＝3，f (2n)≥2n＋1，

所以3 f (n)≥f (n+1)＋2n＋1，即f(n+1)≤3 f (n)－2n－1．

下面證明：f (n)＝n+1．

因為f (1)＝2，所以n＝1時，命題成立．

假設n=k(k≥1)時命題成立，即f(k)＝k+1，

則f(k+1)≤3f (k)－2k－1＝3(k+1)－2k－1＝k＋2，

又f(k+1)≥k＋2，所以f(k+1)＝k＋2．

即n＝k+1時，命題也成立．

所以f (n)＝n+1