Question

【題目】已知是橢圓與拋物線的一個公共點，且橢圓與拋物線具有一個相同的焦點．

（1）求橢圓及拋物線的方程；

（2）設過且互相垂直的兩動直線，與橢圓交于兩點，與拋物線交于兩點，求四邊形面積的最小值

Answer 1

【答案】（Ⅰ）橢圓的方程為，拋物線的方程為；（Ⅱ）見解析.

【解析】

(1)先求 ，即得c，再將點P坐標代入橢圓方程，解方程組得a,b，即得結果，(2)根據垂直條件得，設直線的方程，與橢圓方程聯立方程，結合韋達定理以及弦長公式解得AB，類似可得CD,最后根據二次函數性質求最值.

（Ⅰ）拋物線：一點

，即拋物線的方程為，

又在橢圓：上

，結合知（負舍）， ，

橢圓的方程為，拋物線的方程為.

（Ⅱ）由題可知直線斜率存在，設直線的方程，

①當時，，直線的方程，，故

②當時，直線的方程為，由得.

由弦長公式知 .

同理可得.

.

令，則，當時，，

綜上所述：四邊形面積的最小值為8.