Question

一輛汽車的電路發生故障，電路板上共有10個二極管，只知道其中有兩個是不合格，但不知道是哪兩個． 現要逐個用儀器進行檢測，但受于儀器的限制，最多能檢測6個二極管，若將兩個不合格的二極管全部查出即停止檢測，否則一直檢測到6個為止． 設ξ是檢查二極管的個數．
（1）求ξ的分布列（結果用分數表示）；
（2）求檢查二極管不超過4個時，已查出兩個不合格二極管的概率；
（3）求ξ的數學期望．

Answer 1

分析：（1）由題意可得：ξ可能取的值為2，3，4，5，6，再結合題意分別求出其發生的概率進而求出ξ的分布列．
（2）由題意知本題是一個等可能事件的概率，結合題意所求事件包括三種情況，即包含以ξ=2，ξ=3，ξ=4，再結合（1）即可得到答案．
（3）由（1）并且結合有關的公式即可得到答案．

解答：解：（1）由題意可得：ξ可能取的值為2，3，4，5，6，
所以P（ξ=2）=

A 2 2

A 2 10

=

1

45

，P（ξ=3）=

C 1 2 C 1 8 A 2 2

A 3 10

=

2

45

，P（ξ=4）=

C 1 2 C 2 8 A 3 3

A 4 10

=

1

15

，P（ξ=5）=

C 1 2 C 3 8 A 4 4

A 5 10

=

4

45

，P（ξ=6）=

C 1 2 C 4 8 A 5 5 + A 6 8 + C 1 2 C 5 8 A 6 6

A 6 10

=

7

9

，
所以ξ的分布列為：

ξ	2	3	4	5	6
P	1 45	2 45	1 15	4 45	7 9

（2）由題意知本題是一個等可能事件的概率，
檢查二極管不超過4個時，已查出兩個不合格二極管包括三種情況，即包含以ξ=2，ξ=3，ξ=4，
并且題意可得這三種情況是互斥的，
∴根據等可能事件的概率和互斥事件的概率公式可得：P=P（ξ=2）+P（ξ=3）+P（ξ=4）=

2

15

，
∴檢查二極管不超過4個時，已查出兩個不合格二極管的概率為

2

15

．
（3）由（1）可得：Eξ=2×

1

45

+3×

2

45

+4×

1

15

+5×

4

45

+6×

7

9

=

50

9

．

點評：本題主要考查等可能事件的概率與互斥事件的概率公式，以及考查離散型隨機變量的分布列、數學期望與排列組合有關的知識點，解決此題的關鍵是看清要求概率的事件所包含的結果，再結合題意分類進行求解，在分類時要做到不重不漏．