Question

【題目】已知函數，有下列四個命題：

①函數是奇函數；

②函數在是單調函數；

③當時，函數恒成立；

④當時，函數有一個零點，

其中正確的是____________

Answer 1

【答案】③④

【解析】

①根據與的關系即可判斷；②當時,,對求導可得,設,顯然連續,利用零點存在性定理可得存在,使得,即可判斷時的單調性,進而判斷②；由②可知當時,為的最小值,判斷是否成立即可判斷③；利用零點存在性定理即可判斷④.

由題,的定義域為,

①,且,所以不是奇函數,故①錯誤；

②,當時,,

則,

令,則,,

所以存在,使得,

所以當時,,是單調減函數；

當時,,是單調增函數,

所以②錯誤；

③由②可知,當時,在上有最小值,且,

所以,

因為,

由,則,即,

所以,

所以當時,恒成立,故③正確；

④當時,,且,,

所以在內有一個零點,故④正確.

故答案為:③④