Question

（2009•濱州一模）如圖，三棱錐A-BCD中，AD、BC、CD兩兩互相垂直，且AB=13，BC=3，CD=4，M、N分別為AB、AC的中點(diǎn)．
（1）求證：BC∥平面MND；
（2）求證：平面MND⊥平面ACD；
（3）求三棱錐A-MND的體積．

Answer 1

分析：（1）利用線線平行證明線面平行，利用三角形中位線的性質(zhì)證明MN∥BC即可；
（2）先證明BC⊥平面ACD，可得MN⊥平面ACD，從而可證平面MND⊥平面ACD；
（3）確定MN是三棱錐M-AND的高，利用等體積轉(zhuǎn)化，可得結(jié)論．

解答：（1）證明：∵M(jìn)、N分別為AB、AC的中點(diǎn)，∴MN∥BC．
又∵M(jìn)N?平面MND，BC?平面MND，
∴BC∥平面MND．（4分）
（2）證明：∵BC⊥CD，BC⊥AD，CD∩AD=D，
∴BC⊥平面ACD．
又∵M(jìn)N∥BC，∴MN⊥平面ACD．
∵M(jìn)N?平面MND，∴平面MND⊥平面ACD．                       （8分）
（3）解：∵M(jìn)N⊥平面ACD，∴MN是三棱錐M-AND的高．
在Rt△BCD中，BD=

BC2+CD2

=5．
在Rt△ABD中，AD=

AB2-BD2

=12．
∵AD⊥CD，N是AC的中點(diǎn)，
∴S△AND=

1

2

S△ACD=

1

4

CD•AD=12，
故VA-MND=VM-AND=

1

3

S△AND•MN=

1

3

×12×

3

2

=6．                   （12分）

點(diǎn)評：本題考查線面平行，考查面面垂直，考查三棱錐體積的計(jì)算，掌握線面平行，面面垂直的判定，利用等體積法求體積是關(guān)鍵．