Question

設函數R），函數f（x）的導數記為f'（x）．
（1）若a=f'（2），b=f'（1），c=f'（0），求a、b、c的值；
（2）在（1）的條件下，記，求證：F（1）+F（2）+F（3）+…+F（n）＜N^*）；
（3）設關于x的方程f'（x）=0的兩個實數根為α、β，且1＜α＜β＜2．試問：是否存在正整數n，使得？說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出f'（x）=x²+ax+b，由 a=f'（2），b=f'（1），c=f'（0），求出a=-1，b=c=-3．
（2）根據，F（1）和 F（2）都小于，且F（1）+F（2）=0，當n≥3時，F（n）＜
 （ ），用放縮法證明F（1）+F（2）+F（3）+…+F（n）＜…+＜．
（3）根據 f'（1）•f'（2）=（1-α）（1-β）（2-α）（2-β）=（α-1）（2-α）（β-1）（2-β ）≤=，可得，或，故存在n=1或2，
使．
解答：解：（1）f'（x）=x²+ax+b，由已知可得a=-1，b=c=-3．…（4分）
（2），
當n=1時，；當n=2時，；
當n≥3時，．
所以F（1）+F（2）+F（3）+…+F（n）＜F（1）+F（2）+…+
=（1++--- ）＜ （1++ ）=，
所以F（1）+F（2）+F（3）+…+F（n）＜N^*）．…（9分）
（3）根據題設，可令f'（x）=（x-α）（x-β）．
∴f'（1）•f'（2）=（1-α）（1-β）（2-α）（2-β）
=，
∴，或，所以存在n=1或2，使．…（13分）．
點評：本題考查用放縮法、數學歸納法證明不等式，基本不等式的應用，是一道難題．