Question

設函數R），函數f（x）的導數記為f'（x）．
（1）若a=f'（2），b=f'（1），c=f'（0），求a、b、c的值；
（2）在（1）的條件下，記，
求證：F（1）+F（2）+F（3）+…+F（n）＜N*）；
（3）設關于x的方程f'（x）=0的兩個實數根為α、β，且1＜α＜β＜2．
試問：是否存在正整數n₀，使得？說明理由．

Answer 1

解：（1）f'（x）=x²+ax+b，由已知可得a=﹣1，b=c=﹣3
（2），
當n=1時，；
當n=2時，；
當n≥3時，．
所以F（1）+F（2）+F（3）+…+F（n）＜F（1）+F（2）+…+=（1++﹣﹣﹣ ）＜ （1++ ）=，
所以F（1）+F（2）+F（3）+…+F（n）＜N*）
（3）根據題設，可令f'（x）=（x﹣α）（x﹣β）．
∴f'（1）f'（2）=（1﹣α）（1﹣β）（2﹣α）（2﹣β）=，
∴，或，
所以存在n₀=1或2，使