Question

設△ABC的內角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，且a=bcosC+

3

3

csinB．
（1）求B；
（2）若c=1，a=3，AC的中點為D，求BD的長．

Answer 1

考點：正弦定理,余弦定理

專題：計算題,解三角形,平面向量及應用

分析：（1）依據正弦定理化簡已知可得sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC+

3

3

sinCsinB，可得tanB=

3

，又0＜B＜π，即可求B的值．
（2）由2

BD

=

BA

+

BC

兩邊平方可得：4BD²=BA²+BC²+2BA•BCcosB=1+9+2×1×3×

1

2

=13，可解得BD的值．

解答： 解：（1）依據正弦定理得：sinA=sinBcosC+

3

3

sinCsinB，…（1分）
∵sinA=sin（B+C），∴sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC+

3

3

sinCsinB，
化簡可得：tanB=

3

…（3分）
又0＜B＜π
∴B=

π

3

…（5分）
（2）∵2

BD

=

BA

+

BC

，…（7分）
兩邊平方可得：4BD²=BA²+BC²+2BA•BCcosB=1+9+2×1×3×

1

2

=13，…（9分）
可解得：BD=

13

2

…（10分）

點評：本題主要考查了正弦定理、余弦定理，平面向量在解三角形中的應用，屬于�？碱}，中檔題．