Question

【題目】在平面直角坐標系中，，，且滿足.記點的軌跡為曲線.

（1）求的方程，并說明是什么曲線；

（2）若，是曲線上的動點，且直線過點，問在軸上是否存在定點，使得？若存在，請求出定點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1），是中心在坐標原點，焦點在軸上的橢圓（不含左、右頂點）；（2）存在定點

【解析】

（1）設點的坐標為，說明，把這個等式用表示出來化簡后即得；

（2）假設存在的定點符合題意，當直線的斜率存在時，設其方程為，，，由直線方程與橢圓方程聯立消去得的一元二次方程，應用韋達定理得， ，得，代入化簡后分析所得式子與無關時的值，同時驗證斜率不存在時，定點也滿足．

（1）由，得，設點的坐標為，則：

，化簡得：，

曲線的方程為

是中心在坐標原點，焦點在軸上的橢圓（不含左、右頂點）

（2）假設存在的定點符合題意

由題意知：直線的斜率分別為，

由題意及（1）知：直線與直線均不重合，當直線的斜率存在時

設其方程為，，

由，得直線的傾斜角互補，故

又

①

由消去，整理得：.

，又，②

代②入①得：③

當時，又不恒為0，當且僅當時，③式成立

當直線的斜率存在時，存在定點滿足題意.

當直線的斜率不存在時，點滿足，也符合題意.

綜上所述，在 軸上存在定點，使得.