Question

【題目】若存在實數，對任意實數，使不等式恒成立，則實數的取值范圍為________.

Answer 1

【答案】

【解析】

不等式可化為不等式，等價于存在實數a，b，對任意，不等式成立，等價于存在實數a，b，不等式成立，分別討論，，的情況，注意由任意性和存在性可知需先求出，再求即可解決.

不等式可化為不等式，
原題等價于存在實數a，b，對任意，不等式成立，

等價于存在實數a，b，不等式成立，

令，則，
（1）在上，當，即時，函數單調遞減，
此時，
當時，，且，則，

當時，，且，則，
從而當時，設，

則在單調遞減，在單調遞增，

所以時，取最小值，最小值為；
（2）當時，由可得，y在上單調遞減，在上單調遞增，
①在時，，則，

同理可得，當時，，則在單調遞減，在單調遞增，故當時，取最小值，最小值為；
②在時，，則，

同理可得，當時，，則在單調遞減，在單調遞增，

故當時，取最小值，最小值為，

根據對勾函數的性質可得，.
綜上所述，，即，
.

故答案為：.