Question

【題目】已知函數（），數列的前項和為，點在圖象上，且的最小值為.

（1）求數列的通項公式；

（2）數列滿足，記數列的前項和為，求證： .

Answer 1

【答案】（1）.（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）根據二次函數的最值可求得 的值，從而可得，進而可得結果；（2）由（1）知 ，裂項相消法求和，放縮法即可證明.

試題解析：（1），

故的最小值為.

又，所以，即.

所以當時， ；

當時， 也適合上式，

所以數列的通項公式為.

（2）證明：由（1）知 ，

所以 ，

所以.

【方法點晴】裂項相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時很難找到裂項的方向，突破這一難點的方法是根據式子的結構特點，掌握一些常見的裂項技巧：①；②

；③；

④；此外，需注意裂項之后相消的過程中容易出現丟項或多項的問題，導致計算結果錯誤.