Question

【題目】某校高二八班選出甲、乙、丙三名同學參加級部組織的科學知識競賽．在該次競賽中只設成績優秀和成績良好兩個等次，若某同學成績優秀，則給予班級10分的班級積分，若成績良好，則給予班級5分的班級積分．假設甲、乙、丙成績為優秀的概率分別為 ， ， ，他們的競賽成績相互獨立．
（1）求在該次競賽中甲、乙、丙三名同學中至少有一名成績為優秀的概率；
（2）記在該次競賽中甲、乙、丙三名同學所得的班級積分之和為隨機變量ξ，求隨機變量ξ的分布列和數學期望Eξ．

Answer 1

【答案】
（1）解：記“甲成績為優秀”為事件A，“乙成績優秀”為事件B，“丙成績優秀”為事件C，

“甲、乙、丙至少有一名成績為優秀”為事件E，

∵事件A、B、C是相互獨立事件，事件ABC與事件E是對立事件，

∴P（E）=1﹣P（ ）=1﹣ =

（2）解：ξ的所有可能取值為15，20，25，30，

P（ξ=15）=P（ ）= = ，

P（ξ=20）=P（A ）+P（ ）+P（ ）= + + = ，

P（ξ=30）=P（ABC）= = ，

∴ξ的分布列為：

ξ	15	20	25	30
P

Eξ= =

【解析】（1）記“甲成績為優秀”為事件A，“乙成績優秀”為事件B，“丙成績優秀”為事件C，“甲、乙、丙至少有一名成績為優秀”為事件E，由事件A、B、C是相互獨立事件，事件ABC與事件E是對立事件，能求出在該次競賽中甲、乙、丙三名同學中至少有一名成績為優秀的概率．（2）ξ的所有可能取值為15，20，25，30，分別求出相應的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解離散型隨機變量及其分布列的相關知識，掌握在射擊、產品檢驗例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列．