Question

【題目】已知橢圓： 的焦距為2，過短軸的一個端點與兩個焦點的圓的面積為，過橢圓的右焦點作斜率為（）的直線與橢圓相交于、兩點，線段的中點為．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）過點垂直于的直線與軸交于點，求的值．

Answer 1

【答案】（1）橢圓的方程為．（2）．

【解析】試題分析：（1）建立方程組， ， 橢圓的方程為；（2）聯立直線的方程和橢圓方程得， 為線段的中點，再求得的方程為．

試題解析：

（1）過短軸的一個端點與兩個焦點的圓的半徑為，設右焦點的坐標為，依題意知，

又，解得， ， ，

所以橢圓的方程為．

（2）設過橢圓的右焦點的直線的方程為，

將其代入，得，

設， ，

則， ，

∴，

因為為線段的中點，

故點的坐標為，

又直線的斜率為，

直線的方程為，

令，得，由點的坐標為，

則，解得．