Question

已知函數．
（1）若，求曲線在點處的切線方程；
（2）求的極值；
（3）若函數的圖象與函數的圖象在區間上有公共點，求實數的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2）；（3）.

解析試題分析：本題主要考查導數的運算、利用導數求曲線的切線、利用導數求函數的極值與最值等基礎知識，考查學生的轉化能力和計算能力.第一問，將代入，先得到的解析式，對求導，將代入中，得到切線的斜率，將代入到中得到切點的縱坐標，最后利用點斜式寫出切線方程；第二問，對求導，在定義域內，利用為單調遞增函數，為單調遞減函數，判斷函數的單調性，利用函數的單調性判斷函數的極值點位置；第三問，結合第二問的結論，討論與的大小，分和兩種情況，通過判斷的單調性最值，畫出的簡圖，看與是否有公共點，從而求出a的取值范圍.
試題解析：（1），且．
又，．
在點處的切線方程為：，
即．4分
（2）的定義域為，，令得．
當時，，是增函數；
當時，，是減函數；
在處取得極大值，即．8分
（3）（i）當，即時，
由（Ⅱ）知在上是增函數，在上是減函數，
當時，取得最大值，即．
又當時，，
當時，，當時，，
所以，的圖像與的圖像在上有公共點，
等價于，解得，又因為，所以．
（ii）當，即時，在上是增函數，
在上的最大值為，
原問題等價于，解得