Question

已知函數為奇函數.
（1）若，求函數的解析式；
（2）當時，不等式在上恒成立，求實數的最小值；
（3）當時，求證：函數在上至多有一個零點.

Answer 1

（1）；（2） （3）見解析

解析試題分析：（1）由函數為奇函數,得恒成立,可求的值；
由，從而可得函數的解析式；
（2）當時，可判斷其在區間上為單調函數，最大值為，要使不等式在上恒成立，只要不小于函數在區間區間上的最大值即可；
（3）當時，，要證在上至多有一個零點，
只要證在上是單調函數即可,對此可用函數單調性的定義來解決.
試題解析：解:（1）∵函數為奇函數，
∴，即，
∴，                             2分
又，
∴
∴函數的解析式為.                4分
（2），.
∵函數在均單調遞增，
∴函數在單調遞增，                      6分
∴當時，．                  7分
∵不等式在上恒成立，
∴，
∴實數的最小值為．                        9分
（3）證明：，
設，

          11分
∵，
∴
∵，即，
∴，又，
∴，即
∴函數在單調遞減，                    13分
又，結合函數圖像知函數在上至多有一個零點.     14分
考點：1、函數的奇偶性；2、函數的單調性；3、函數的最值.