定義在
上的單調函數
滿足
，且對任意
都有
（1）求證：為奇函數；
（2）若
對任意
恒成立，求實數
的取值范圍.
（1）證明見試題解析；（2）
．
解析試題分析：(1)這是抽象函數問題，要證明它是奇函數，當然要根據奇函數的定義，證明
或
，由此在已知式里設
，從而有
，因此我們還要先求出
，這個只要設
或者有一個為0即可得
，故可證得為奇函數；（2）不等式可以利用為奇函數的結論，變形為
，再利用函數的單調性去掉符號“
”，轉化為關于
的不等式恒成立問題，即
對任意成立，這時還需要用換元法（設
）變化二次不等式怛成立，當然不要忘記
的取值范圍.
試題解析：（Ⅰ）證明：∵ 
①
令
，代入①式，得
即
令
，代入①式，得
，又
則有
即
對任意成立，
所以是奇函數. 4分
（Ⅱ）解：
，即
，又在上是單調函數，
所以在上是增函數.
又由（1）是奇函數.
，即對任意成立.
令
，問題等價于
對任意
恒成立. 8分
令
其對稱軸
.
當
時，即
時，
，符合題意； 10分
當
時，對任意
恒成立
解得
12分
綜上所述，
對任意恒成立時，
實數的取值范圍是：. 13分
考點：(1)奇函數的定義；；（2）不等式恒成立問題.
閱讀快車系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知偶函數
滿足：當
時，
，當
時，
.
(1)求當
時，
的表達式；
(2)試討論：當實數
滿足什么條件時，函數
有4個零點，且這4個零點從小到大依次構成等差數列.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，某生態園欲把一塊四邊形地
辟為水果園，其中
， 
，
．若經過
上一點
和
上一點
鋪設一條道路
，且將四邊形分成面積相等的兩部分，設
．
（1）求
的關系式；
（2）如果是灌溉水管的位置，為了省錢，希望它最短，求的長的最小值；
（3）如果是參觀路線，希望它最長，那么
的位置在哪里？
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，求
的值.
，對一切
恒成立；命題q：函
是增函數．若p或q為真，p且q為假，求實數a的取值范圍．
．
，集合
,求
，
.
的解集為M，求當x∈M時函數
的最大、最小值.
=
,
=
,若曲線
和曲線
都過點P(0,2),且在點P處有相同的切線
.
,
,
,
的值;
時,
≤
,求
的取值范圍.
；
.