Question

【題目】如圖所示四棱錐P-ABCD平面，E為線段BD上的一點，且EB=ED=EC=BC,連接CE并延長交AD于F

(1)若G為PD的中點，求證：平面平面CGF；

(2)若BC=2,PA=3，求平面BCP與平面DCP所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；(2)

【解析】

（1）通過三角形全等證明∠FED＝∠FEA，推出EF⊥AD，證明FG∥PA．可得GF⊥AD，即可證明AD⊥平面CFG．然后證明平面PAD⊥平面CGF；

（2）以點A為坐標原點建立如圖所示的坐標系，求出平面BCP的法向量，平面DCP的法向量利用向量的數量積求解平面BCP與平面DCP的夾角的余弦值．

在中，，

故,

因為，∴，

從而有

∴，故． 又，

．又平面，

故平面，，

故平面.

又平面，∴平面平面.

（2）以點為坐標原點建立如圖所示的坐標系，則

，

故，．

設平面的法向量，

則解得即

設平面的法向量，則

解得即．

從而平面與平面的夾角的余弦值為

，