Question

【題目】某單位為促進職工業務技能提升，對該單位120名職工進行一次業務技能測試，測試項目共5項.現從中隨機抽取了10名職工的測試結果，將它們編號后得到它們的統計結果如下表（表1）所示（“√”表示測試合格，“×”表示測試不合格）.

表1：

編號\測試項目	1	2	3	4	5
1	×	√	√	√	√
2	√	√	√	√	×
3	√	√	√	√	×
4	√	√	√	×	×
5	√	√	√	√	√
6	√	×	×	√	×
7	×	√	√	√	×
8	√	×	×	×	×
9	√	√	×	×	×
10	√	√	√	√	×

規定：每項測試合格得5分，不合格得0分.

（1）以抽取的這10名職工合格項的項數的頻率代替每名職工合格項的項數的概率.

①設抽取的這10名職工中，每名職工測試合格的項數為，根據上面的測試結果統計表，列出的分布列，并估計這120名職工的平均得分；

②假設各名職工的各項測試結果相互獨立，某科室有5名職工，求這5名職工中至少有4人得分不少于20分的概率；

（2）已知在測試中，測試難度的計算公式為，其中為第項測試難度，為第項合格的人數，為參加測試的總人數.已知抽取的這10名職工每項測試合格人數及相應的實測難度如下表（表2）：

表2：

測試項目	1	2	3	4	5
實測合格人數	8	8	7	7	2

定義統計量，其中為第項的實測難度，為第項的預測難度（）.規定：若，則稱該次測試的難度預測合理，否則為不合理，測試前，預估了每個預測項目的難度，如下表（表3）所示：

表3：

測試項目	1	2	3	4	5
預測前預估難度	0.9	0.8	0.7	0.6	0.4

判斷本次測試的難度預估是否合理.

Answer 1

【答案】（1）①分布列見解析，平均得分為；②；（2）合理.

【解析】

（1）①可取，由表格中數據，利用古典概型概率公式求出各隨機變量對應的概率，從而可得分布列，進而利用期望公式可得的數學期望，由的值可得平均分；②由①知，由互斥事件的概率公式以及獨立事件的概率公式可得結果；（2）直接利用方差公式求出方差，與比較大小即可得結果.

（1）①根據上面的測試結果統計表，得的分布列為：

	0	1	2	3	4	5
	0	0.1	0.2	0.2	0.4	0.1

所以的數學期望.

所以估計這12名職工的平均得分為.

②“得分不小于20分”即“”，

由①知.

設該科室5名職工中得分不小于20分的人數為，則.

所以，

即這5名職工中至少有4人得分不小于20分的概率為.

（2）由題意知

該次測試的難度預估是合理的.