Question

【題目】如圖，四邊形是正方形， 平面， // ， ， ， 為的中點(diǎn)．

（1）求證： ；

（2）求證： //平面；

（3）求二面角的大小．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】試題分析：（1）以為原點(diǎn)，分別以、、的方向?yàn)?/span>軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系．求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，通過計(jì)算，證明；（2）取的中點(diǎn)，連接，證明，然后證明平面；（3）求出平面的一個(gè)法向量，平面的法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解二面角的余弦值.

試題解析：（1）證明：依題意， 平面，如圖，以為原點(diǎn)，分別以、、的方向?yàn)?/span>軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系．

依題意，可得， ， ， ， ， ， ，因?yàn)?/span>， ，所以．

所以.

（2）證明：取的中點(diǎn)，連接．

因?yàn)?/span>， ， ，

所以，所以．

又因?yàn)?/span>平面， 平面，

所以平面．

（3）解：因?yàn)?/span>， ，

，

所以平面，故為平面的一個(gè)法向量．

設(shè)平面的法向量為，

因?yàn)?/span>， ，

所以 即

令，得， ，故．

所以，所以二面角的大小為．