Question

已知方程x²+y²-2x-4y+m=0
（1）若此方程表示圓，求實數m的取值范圍；
（2）若（1）中的圓與直線x+2y-4=0相交于M、N兩點，且坐標原點O在以MN為徑的圓上，求實數m的值．

Answer 1

分析：（1）將方程化為圓的標準方程，即可求實數m的取值范圍；
（2）直線方程代入圓的方程，利用韋達定理及向量知識，即可求得實數m的值．

解答：解：（1）方程x²+y²-2x-4y+m=0可化為（x-1）²+（y-2）²=5-m
∵方程表示圓，
∴5-m＞0，即m＜5；
（2）直線x+2y-4=0代入圓的方程，消去x可得：5y²-16y+8+m=0
∵△＞0，∴m＜

24

5

，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則y₁+y₂=

16

5

，y₁y₂=

8+m

5

∴x₁x₂=（4-2y₁）（4-2y₂）=16-8（y₁+y₂）+4y₁y₂=

-16+4m

5

∵坐標原點O在以MN為徑的圓上，
∴

OM

•

ON

=0
∴x₁x₂+y₁y₂=0
∴

-16+4m

5

+

8+m

5

=0
∴m=

8

5

．

點評：本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關系，考查向量知識的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．