Question

已知橢圓C：M：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

3

5

，且橢圓上一點與橢圓的兩個焦點構(gòu)成的三角形周長為16
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）若O（0，0）、P（2，2），試探究在橢圓C內(nèi)部是否存在整點Q（平面內(nèi)橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點稱為整點），使得△OPQ的面積S_△OPQ=4？若存在，請指出共有幾個這樣的點？并說明理由（不必具體求出這些點的坐標(biāo)）．

Answer 1

分析：（I）利用橢圓的離心率e=

3

5

，且橢圓上一點與橢圓的兩個焦點構(gòu)成的三角形周長為16，求出幾何量，即可得到橢圓M的方程；
（Ⅱ）利用S_△OPQ=4，可得點Q在與直線OP平行且距離為2

2

的直線l上，確定直線方程與橢圓方程聯(lián)立，即可求得結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓C的半焦距為c，由題意可知道：

2a+2c=16 c a = 3 5

，解得

a=5 c=3

…（3分）
又因為a²=b²+c²，所以b=

a2-c2=4

所以橢圓的方程為

x2

25

+

y2

16

=1…（6分）
（Ⅱ）依題意|OP|=2

2

，直線OP的方程為y=x，…（7分）
因為S_△OPQ=4，所以Q到直線OP的距離為2

2

，…（8分）
所以點Q在與直線OP平行且距離為2

2

的直線l上，
設(shè)l：y=x+m，則

|m|

2

=2

2

，解得m=±4  …（10分）
當(dāng)m=4時，由

y=x+4 x2 25 + y2 16 ＜1

，
消元得41x²+200x＜0，即-

200

41

＜x＜0 …（12分）
又x∈Z，所以x=-4，-3，-2，-1，相應(yīng)的y也是整數(shù)，此時滿足條件的點Q有4個．
當(dāng)m=-4時，由對稱性，同理也得滿足條件的點Q有4個．…（13分）
綜上，存在滿足條件的點Q，這樣的點有8個．…（14分）

點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．