Question

如圖，橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的頂點(diǎn)為A₁，A₂，B₁，B₂．焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，|F₁F₂|=2c，向量

A1B1

在向量

A1A2

上的投影為2，且橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最小值
為1．
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在同時(shí)滿足以下條件的直線：①與橢圓相交于M，N兩點(diǎn)，以線段MN為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)；
②與圓心在原點(diǎn)，半徑為c的圓相切；若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)條件，利用向量

A1B1

在向量

A1A2

上的投影為2，且橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最小值為1，求出a=2，c=1，由此能求出橢圓方程．
（2）假設(shè)滿足題設(shè)的直線l存在，設(shè)M，N兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），當(dāng)l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)l方程為y=kx+m，直線與x²+y²=1相切，由題設(shè)條件得到不存在這樣的實(shí)數(shù)k，此直線l不存在．當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，直線l的方程為x=1或x=-1，推出此直線l也不存在．

解答：解：（1）A₁（-a，0），B₁（0，b），A₂（a，0），
∴

A1B1

 =（a，b），

A1A2

=（2a，0），
∴

A1B1 • A1A2

| A1A2 |

=2=

2a2

2a

=a，
∴a=2．（2分）
又a-c=1，∴c=1，
b²=a²-c²=3，
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．（5分）
（2）假設(shè)滿足題設(shè)的直線l存在，設(shè)M，N兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
①當(dāng)l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)l方程為y=kx+m，
直線與x²+y²=1相切，
∴

|m|

k2+1

=1，即m²=k²+1．
又以MN為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，
∴OM⊥ON，∴x₁x₂+y₁y₂=0，（7分）
獎(jiǎng)y=kx+m代入橢圓方程，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
∴x1+x2=

-8km

3+4k2

，x1x2=

4m2-12

3+4k2

，
∴x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）
=（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0，
∴（1+k²）（4m²-12）-8k²m²+m²（3+4k²）=0，
將m²=1+k²代入，得-5（k²+1）=0，即不存在這樣的實(shí)數(shù)k，
∴此直線l不存在．（10分）
②當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，直線l的方程為x=1或x=-1，
當(dāng)x=1時(shí)，直線l與橢圓的交點(diǎn)為（1，

3

2

）和（1，-

3

2

），

OM

•

ON

=1-

9

4

≠0．（11分）
當(dāng)x=-1時(shí)，同理，得

.

OM

•

ON

≠0，即此直線l也不存在．
綜上，滿足條件的直線l不存在．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，判斷直線l是否存在．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對(duì)數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．