Question

若實數a，b，c使得函數f（x）=x³+ax²+bx+c的三個零點分別為橢圓、雙曲線、拋物線的離心率e₁，e₂，e₃，則a，b，c的一種可能取值依次為（ ）
A．-2，-1，2
B．2，0，-2
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：將零點1代入，求得a，b和c的關系代入函數解析式消去c，整理成f（x）=（x-1）（x²+x+1）+a（x+1）（x-1）+b（x-1）的形式，設g（x）=x²+（a+1）x+1+a+b，根據橢圓和雙曲線的離心率的范圍確定兩根的范圍確定g（0）＞0，g（1）＜0，即可得到結論．
解答：解：拋物線的離心率為1，將1代入得到1+a+b+c=0，
∴c=-a-b-1，代入方程得x³+ax²+bx-a-b-1=0．
分解得（x-1）[x²+（a+1）x+a+b+1]=0．
于是方程另兩根滿足x²+（a+1）x+a+b+1=0，由已知得此方程的兩根一個大于1，另一個大于0而小于1．
設g（x）=x²+（a+1）x+a+b+1，則 g（0）＞0且g（1）＜0，
即a+b+1＞0且2a+b+3＜0，所以-（a+b+1）＜0 與 2a+b+3＜0
相加得a＜-2．
故選C．
點評：本題主要考查了函數的零點和根的分布，圓錐曲線的共同特征，考查學生的計算能力，屬于中檔題．