Question

設函數f（x）=3sinx+2cosx+1．若實數a、b、c使得af（x）+bf（x-c）=1對任意實數x恒成立，則

bcosc

a

的值等于

 

．

Answer 1

分析：作為一個選擇題，可以令C取特殊值來求值，作為一個解答題，需將af（x）+bf（x-c）=1用和差角公式進行變形，利用恒成立的意義轉化成關于a，b，c的方程，解出a，b，c的值，進而求解．

解答：解：令c=π，則對任意的x∈R，都有f（x）+f（x-c）=2，于是取a=b=

1

2

，c=π，
則對任意的x∈R，af（x）+bf（x-c）=1，由此得

bcosC

a

=-1．
一般地，由題設可得f（x）=

13

sin（x+∅）+1，f（x-c）=

13

sin（x+∅-c）+1，其中0＜∅＜

π

2

且tan∅=

2

3

，，
于是af（x）+bf（x-c）=1可化為

13

asin（x+∅）+

13

bsin（x+∅-c）+a+b=1，即

13

asin（x+∅）+

13

bsin（x+∅）cosC-

13

bcos（x+∅）sinC+a+b-1=0，
所以

13

（a+bcosC）sin（x+∅）-

13

sinCcos（x+∅）++a+b-1=0，
由已知條件，上式對任意x∈R恒成立，故必有

a+bcosC=0 bsinC=0 a+b-1=0

，
若b=0，則由（1）知a=0，顯然不滿足（3）式，故b≠0．所以，由（2）知sinc=0，故c=2kπ+π或c=2kπ（k∈Z）．當c=2kπ時，cosc=1，則（1）、（3）兩式矛盾，故c=2kπ+π（k∈Z），cosc=-1．由（1）、（3）知a=b=

1

2

，所以

bcosC

a

=-1．

點評：本題考查三角函數和差角公式的運用與恒成立條件的轉化．解題過程中對不確定的情況要善于分類討論．