Question

【題目】已知函數 ，其中a為實數．
（1）當 時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）當x≥ 時，若關于x的不等式f（x）≥0恒成立，試求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=﹣ 時， ，f（1）=e﹣1，

， ．

故曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為：y﹣e+1= （x﹣1），

即

（2）解：由f（x）≥0，得 ，

∵ ，∴ ．

令 ，則 = ．

令h（x）= ，則h′（x）=x（ex﹣1）．

∵x ，∴h′（x）＞0，即h（x）在[ ）上單調遞增．

∴h（x）≥h（ ）= ．

∴g′（x）＞0．故g（x）在[ ）上單調遞增．

則g（x）≥ ．

∴a的取值范圍是

【解析】（1）把a=﹣ 代入函數解析式，求出f（1），求出函數的導函數，得到f′（1），由點斜式寫出切線方程；（2）把不等式f（x）≥0恒成立轉化為 恒成立．利用導數求函數 的最小值，則a小于等于函數g（x）的最小值，答案可求．