Question

已知函數(shù)f（x）=log₃[（5+k）x²+6x+k+5]．
（1）若函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，求k的取值范圍；
（2）若函數(shù)f（x）的值域?yàn)镽，求k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）依題意，令g（x）=（5+k）x²+6x+k+5，利用g（x）＞0恒成立即可求得實(shí)數(shù)k的取值范圍．
（2）根據(jù)函數(shù)的值域?yàn)镽，則對(duì)數(shù)的真數(shù)的取值為（0，+∞），由此可得k滿足的條件．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=log₃[（5+k）x²+6x+k+5]的定義域?yàn)镽，
令g（x）=（5+k）x²+6x+k+5，
則g（x）＞0恒成立，
當(dāng)k=-5時(shí)，g（x）=6x＞0不恒成立．
當(dāng)k≠-5時(shí)，

5+k＞0 △=36-4(k+5)2＜0

，
解得k＞-2
綜上所述k的取值范圍（-2，+∞）
（2）∵函數(shù)f（x）的值域?yàn)镽，
∴

5+k＞0 △=36-4(k+5)2≥0

解得-5＜k≤-2
∴k的取值范圍是（-5，-2]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)恒成立問題，對(duì)數(shù)函數(shù)的值域及二次函數(shù)的值域，考查△的應(yīng)用，屬于中檔題．