Question

已知，如圖所示的△DAB是正三角形，與等腰三角形ABC的公共邊AB=2

3

，且△ABC中，∠ACB=120°
（Ⅰ）當平面ABD⊥平面ABC時，求CD的長；
（Ⅱ）如果△ABC繞邊AB轉動，請你首先描述一下你對直線AB與CD的位置關系的直觀感知，然后運用所學知識證明你的直觀感知．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,空間中直線與直線之間的位置關系

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）取AB中點為E，連DE，CE，由AB⊥DE，AB⊥CE，可證平面ABD⊥平面ABC，從而有DE⊥EC，由勾股定理可求CD的長；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知AB⊥DE，AB⊥CE，可證AB⊥平面EDC，即可證明始終有AB⊥CD．

解答： 解：（Ⅰ）取AB中點為E，連DE，CE，
∵△DAB是正三角形，
∴AB⊥DE，
又∵△BCA是∠ACB=120°的等腰三角形，
∴AB⊥CE，
∵平面ABD⊥平面ABC，
∴ED⊥平面ABC，即DE⊥EC，
∵DE=3，CE=1，
∴CD=

10

，
（Ⅱ）當△ABD繞AB轉動時，AB始終與CD垂直，
由（Ⅰ）知AB⊥DE，AB⊥CE，
∴AB⊥平面EDC，CD?平面EDC，
∴AB⊥CD，
∴當△ABD繞AB轉動時，AB始終與CD垂直．

點評：本題主要考察了平面與平面垂直的判定，空間中直線與直線之間的位置關系，屬于中檔題．