Question

定義在[1，+∞）上的函數f（x）滿足：①f（2x）=cf（x）（c為正常數）；
②當2≤x≤4時，f（x）=1-|x-3|．試解答下列問題：
（1）設c＞2，方程f（x）=2的根由小到大依次記為a₁，a₂，a₃，…，a_n，…，試證明：數列a_2n-1+a_2n為等比數列；
（2）①是否存在常數c，使函數的所有極大值點均落在同一條直線上？若存在，試求出c的所有取值并寫出直線方程；若不存在，試說明理由；②是否存在常數c，使函數的所有極大值點均落在同一條以原點為頂點的拋物線上？若存在，試求出c的所有取值并寫出拋物線方程；若不存在，試說明理由．

Answer 1

分析：（1）先利用分類討論的方法化簡函數f（x），令f(x)=cn-2(1-|

x

2n-2

-3|)=2，1-|

x

2n-2

-3|=2c2-n≤1，從而n≥3，故

x

2n-2

-3=2c2-n-1或

x

2n-2

-3=1-2c2-n，當n≥3時，[2n-2(

2

c

)n-2]-[2n-1+2(

2

c

)n-2]=2n-1-4(

2

c

)n-2＞0，于是a₁+a₂=2²+2³，a₃+a₄=2³+2⁴，從而a_2n-1+a_2n=2ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺²=12•2^n-1，n∈N^*．從而得出數列a_2n-1+a_2n構成以12為首項，2為公比的等比數列．
（2）記函數f(x)=cn-2(1-|

x

2n-2

-3|)．(2n-1≤x≤2n，n∈N*)的極大值點為p_n（x_n，y_n）．由kp2p1=kp2p3（k表示直線的斜率），得c=2或c=1．分別求出當c=2時的拋物線方程，以及當c=4，c=

2

時，拋物線方程即可．

解答：解：函數f（x）是一個分段函數．
當1≤x≤2時，2≤2x≤4，f(x)=

1

c

f(2x)=

1

c

(1-|2x-3|)；
當4≤x≤8時，2≤

x

2

≤4，f(x)=cf(

x

2

)=c(1-|

x

2

-3|)；
當2n-1≤x≤2n(n∈N*)時，f(x)=cn-2(1-|

x

2n-2

-3|)．
（1）令f(x)=cn-2(1-|

x

2n-2

-3|)=2，1-|

x

2n-2

-3|=2c2-n≤1，（2）
從而n≥3，故

x

2n-2

-3=2c2-n-1或

x

2n-2

-3=1-2c2-n，于是，x=2n-1+2(

2

c

)n-2或x=2n-2(

2

c

)n-2．
當n≥3時，[2n-2(

2

c

)n-2]-[2n-1+2(

2

c

)n-2]=2n-1-4(

2

c

)n-2＞0
故a1=22+2(

2

c

)，a2=23-2(

2

c

)，a3=23+2(

2

c

)2，a4=24-2(

2

c

)2，于是a₁+a₂=2²+2³，a₃+a₄=2³+2⁴，從而a_2n-1+a_2n=2ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺²=12•2^n-1，n∈N^*．
故數列a_2n-1+a_2n構成以12為首項，2為公比的等比數列．（6分）
（2）記函數f(x)=cn-2(1-|

x

2n-2

-3|)．(2n-1≤x≤2n，n∈N*)的極大值點為p_n（x_n，y_n）．
令

xn

2n-2

-3=0，即x_n=3•2^n-2時，y_n=c^n-2，故p_n（3•2^n-2，c^n-2）．
分別令n=1，2，3得p1(

3

2

，

1

c

)，p₂（3，1），p₃（6，c）．
由kp2p1=kp2p3（k表示直線的斜率），得c=2或c=1．
當c=2時，y_n=2^n-2，x_n=3•2^n-2，所有極大值點均在直線y=

1

3

x上；
當c=1時，y_n=1對n∈N^*恒成立，此時極大值點均在直線y=1上．（10分）
以原點為頂點的拋物線方程可設為x²=py（p≠0）或y²=qx（q≠0）．
若p_n（3•2^n-2，c^n-2）．在拋物線x²=py（p≠0）上，則（3•2^n-2）²=pc^n-2，
即

9

p

=(

c

4

)n-2對n∈N^*恒成立，從而c=4，p=9，拋物線方程為x²=9y；
若p_n（3•2^n-2，c^n-2）．在拋物線y²=qx（q≠0）上，則（c^n-2）²=3q•2^n-2，
即3q=(

c

2

)n-2對n∈N^*恒成立，從而c=

2

，q=

1

3

，拋物線方程為y²=

1

3

x（14分）

點評：本小題主要考查拋物線的標準方程、利用導數研究函數的極值、不等式的解法、數列與函數的綜合等基礎知識，考查運算求解能力、化歸與轉化思想．屬于基礎題．