已知橢圓
的方程為
，雙曲線
的左、右焦點分別為的左、右頂點，而的左、右頂點分別是的左、右焦點，
（1）求雙曲線的方程；
（2）若直線
與橢圓及雙曲線都恒有兩個不同的交點，且
與的兩個交點A和B滿足
（其中0為原點），求k的取值范圍。
（1）
；（2）
解析試題分析：（1）有橢圓方程中讀出其長軸長，焦距長，根據題意得出雙曲線的長軸長，和焦距長，即可求出雙曲線方程。（2）因為直線l與兩曲線均有兩個不同交點，故聯立方程后整理出的一元二次方程均有兩根，即判別式均大于0，再根據向量數量積公式列出關于K 的不等式，三個不等式取交集。
試題解析：（1）設雙曲線的方程為
，由橢圓的方程知，其長軸長為4，焦距長為
，則由題意知雙曲線中
，
，所以
，故的方程為。
（2）將代入，整理得
，由直線與橢圓恒有兩個不同的交點得
即
，
將代入，整理得
，由直線與雙曲線恒有兩個不同的交點得
，解得
。
解此不等式得
③
由①、②、③得
故k的取值范圍為
考點：圓錐曲線方程基礎知識，直線與圓錐曲線的位置關系，向量數量積公式
世紀百通期末金卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
：
的離心率為
且與雙曲線
：
有共同焦點.
（1）求橢圓的方程；
（2）在橢圓落在第一象限的圖像上任取一點作的切線
，求與坐標軸圍成的三角形的面積的最小值；
（3）設橢圓的左、右頂點分別為
，過橢圓上的一點
作
軸的垂線交軸于點
，若
點滿足
，
，連結
交
于點
，求證：
.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓C的左、右焦點分別為
，橢圓的離心率為
，且橢圓經過點
．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）線段
是橢圓過點
的弦，且
，求
內切圓面積最大時實數
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知動圓過定點P（1，0），且與定直線l：x=－1相切，點C在l上.
（1）求動圓圓心的軌跡M的方程；
（2）設過點P，且斜率為－
的直線與曲線M相交于A、B兩點. 問：△ABC能否為正三角形？若能，求點C的坐標；若不能，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
定義：對于兩個雙曲線
,
,若的實軸是的虛軸，的虛軸是的實軸，則稱,為共軛雙曲線.現給出雙曲線
和雙曲線
，其離心率分別為
.
（1）寫出
的漸近線方程（不用證明）；
（2）試判斷雙曲線和雙曲線是否為共軛雙曲線？請加以證明.
（3）求值：
.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
設橢圓E:
=1（
）過點M（2，
）, N（
，1），
為坐標原點
（I）求橢圓E的方程；
（II）是否存在以原點為圓心的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且
？若存在，寫出該圓的方程；若不存在，說明理由。
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已知
中，點A、B的坐標分別為
，點C在x軸上方。
（1）若點C坐標為
，求以A、B為焦點且經過點C的橢圓的方程；
（2）過點P（m，0）作傾角為
的直線
交（1）中曲線于M、N兩點，若點Q（1，0）恰在以線段MN為直徑的圓上，求實數m的值。
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
的離心率為
，直線
與以原點為圓心，以橢圓
的短半軸長為半徑的圓
相切.
（1）求橢圓的方程；
（2）拋物線
與橢圓
有公共焦點，設與
軸交于點
，不同的兩點
、
在 上（、與不重合），且滿足
，求
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知點F是拋物線C：
的焦點，S是拋物線C在第一象限內的點，且|SF|=
.
（Ⅰ）求點S的坐標；
（Ⅱ）以S為圓心的動圓與
軸分別交于兩點A、B，延長SA、SB分別交拋物線C于M、N兩點；
①判斷直線MN的斜率是否為定值，并說明理由；
②延長NM交軸于點E，若|EM|=
|NE|，求cos∠MSN的值.
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