Question

已知離心率為的橢圓C₁的頂點，A₁、A₂恰好是雙曲線的左右焦點，點P是橢圓上不同于A₁、A₂的任意一點，設直線PA₁，PA₂的斜率分別為k₁，k₂。
（Ⅰ）求橢圓C₁的標準方程；
（Ⅱ）試判斷k₁·k₂的值是否與點P的位置有關，并證明你的結論；
（Ⅲ）當k₁=時，圓C₂：x²+y²-2mx=0被直線PA₂截得弦長為，求實數m的值。

Answer 1

解：（Ⅰ）雙曲線的左右焦點為（±2，0），
即的坐標分別為（-2，0），（2，0），
所以，設橢圓的標準方程為，則a=2，
且，所以，從而，
所以，橢圓的標準方程為。
（Ⅱ）設，則，即，
，
所以，的值與點P的位置無關，恒為。 
（Ⅲ）由圓：得，
其圓心為，半徑為|m|，
由（Ⅱ）知當時，，故直線的方程為，即，
所以，圓心為到直線的距離為，
又由已知圓：被直線截得弦長為及垂徑定理得，
圓心到直線的距離，
所以，，
即，解得m=-2或m=1，
所以，實數m的值為1或-2。