Question

【題目】△ABC中內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量 =（2sinB，﹣ ）， =（cos2B，2cos2 ﹣1）且 ∥ ．
（1）求銳角B的大小；
（2）如果b=2，求△ABC的面積S△ABC的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ =（2sinB，﹣ ）， =（cos2B，2cos2 ﹣1）且 ∥ ，

∴2sinB（2cos2 ﹣1）=﹣ cos2B，

∴2sinBcosB=﹣ cos2B，即sin2B=﹣ cos2B，

∴tan2B=﹣ ，

又B為銳角，∴2B∈（0，π），

∴2B= ，

則B= ；

（2）解：當B= ，b=2，

由余弦定理cosB= 得：a2+c2﹣ac﹣4=0，

當B= ，b=2，

由余弦定理cosB= 得：a2+c2+ac﹣4=0，

又a2+c2≥2ac，代入上式得：ac≤4（當且僅當a=c=2時等號成立），

∴S△ABC= acsinB= ac≤ （當且僅當a=c=2時等號成立），

則S△ABC的最大值為

【解析】（1）由兩向量的坐標及兩向量平行，利用平面向量平行時滿足的條件列出關系式，利用二倍角的正弦、余弦函數公式及同角三角函數間的基本關系化簡，求出tan2B的值，由B為銳角，得到2B的范圍，利用特殊角的三角函數值即可求出B的度數；（2）由B的度數求出sinB及cosB的值，進而由b及cosB的值，利用余弦定理列出關系式，再利用基本不等式化簡求出ac的最大值，再由ac的最大值及sinB的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC面積的最大值．