Question

已知m∈R，設函數f（x）=x³-3（m+1）x²+12mx+1．
（Ⅰ） 若f（x）在（0，3）上無極值點，求m的值；
（Ⅱ） 若存在x₀∈（0，3），使得f（x₀）是f（x）在[0，3]上的最值，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數求閉區間上函數的最值,利用導數研究函數的極值

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）求函數的導數，根據函數極值和導數之間的關系即可求出m的值；
（Ⅱ）求函數的導數，根據函數在[0，3]上的最值，建立條件關系即可求出m的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ） 由題意知
f′（x）=3x²-6（m+1）x+12m=3（x-2）（x-2m）．
由于f（x）在[0，3]上無極值點，故2m=2，所以m=1．                     
（Ⅱ） 由于f′（x）=3（x-2）（x-2m），故
（i） 當2m≤0或2m≥3，即m≤0或m≥

3

2

時，
取x₀=2即滿足題意．
此時m≤0或m≥

3

2

．
（ii） 當0＜2m＜2，即0＜m＜1時，列表如下：

x	0	（0，2m）	2m	（2m，2）	2	（2，3）	3
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	1	單調遞增	極大值	單調遞減	極小值	單調遞增	9m+1

故f（2）≤f（0）或　f（2m）≥f（3），
即-4+12m+1≤1或-4m³+12m²+1≥9m+1，
從而3m≤1或-m（2m-3）²≥0，
所以m≤

1

3

或m≤0或m=

3

2

．
此時0＜m≤

1

3

．
（iii） 當2＜2m＜3，即1＜m＜

3

2

時，列表如下：

x	0	（0，2）	2	（2，2m）	2m	（2m，3）	3
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	1	單調遞增	極大值	單調遞減	極小值	單調遞增	9m+1

故f（2m）≤f（0）或  f（2）≥f（3），
即-4m³+12m²+1≤1或-4+12m+1≥9m+1，
從而-4m² （m-3）≤0　或　3m≥4，
所以m=0或m≥3或　m≥

4

3

．
此時

4

3

≤m＜

3

2

．
綜上所述，實數m的取值范圍是
m≤

1

3

或m≥

4

3

．

點評：本題主要考查極值的概念、利用導數研究函數的單調性等性質等基礎知識，同時考查分類討論等綜合解題能力．