Question

（考生注意：請在下列三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評分）
（A）（極坐標與參數方程）直線l：x-y+b=0與曲線

x=1+ 2 cosθ y=-2+ 2 sinθ

(θ是參數）相切，則b=

-1或-5

．
（B）設6≤|x-a|+|x-b|對任意的x∈R恒成立．則a與b滿足的關系是

|a-b|≥6

．
（C）如圖所示，圓O的直徑為6，C為圓周上一點．BC=3，過C作圓的切線l．過A作l的垂線AD，垂足為D，則線段CD的長為

3 3

2

．

Answer 1

分析：（A）把曲線

x=1+ 2 cosθ y=-2+ 2 sinθ

(θ是參數）的參數方程化為普通方程可得表示一個圓，再由直線l：x-y+b=0與曲線相切可得圓心到直線的距離等于半徑，由此求得b的值．
（B）由于|x-a|+|x-b|表示數軸上的x對應點到a、b對應點的距離之和，其最小值為|a-b|，可得|a-b|≥6．
（C）由切線性質可知OC垂直于直線l，得出OC平行于AD，根據AB為圓的直徑，得到三角形ABC為直角三角形，再根據BC和AB的長度，利用勾股定理求出AC的長，且利用在直角三角形的性質推出∠CAD等于30°，從而求得求出CD．

解答：解：（A）把曲線

x=1+ 2 cosθ y=-2+ 2 sinθ

(θ是參數）的參數方程化為普通方程為 （x-1）²+（y+2）²=2，表示以A（1，-2）為圓心，半徑等于

2

的圓．
由直線l：x-y+b=0與曲線相切可得

2

=

|1+2+b|

2

，解得 b=-1 或 b=-5，
故答案為-1或-5．
（B）由于|x-a|+|x-b|表示數軸上的x對應點到a、b對應點的距離之和，其最小值為|a-b|，故由6≤|x-a|+|x-b|對任意的x∈R恒成立，
可得|a-b|≥6，
故答案為|a-b|≥6．
（C）連接OC，則OC⊥直線l，所以OC∥AD．∵AB為圓的直徑，∴∠ACB=90°．
又AB=6，BC=3，所以∠CAB=30°，AC=

62-3 2

=3

3

，由OA=OC得，∠ACO=∠CAB=30°．
∵OC∥AD，∴∠CAD=∠ACO=30°，∴CD=

1

2

AC=

1

2

•3

3

=

3 3

2

，
故答案為

3 3

2

．

點評：本題主要考查把參數方程化為普通方程的方法，點到直線的距離公式的應用，直線和圓的位置關系．絕對值的意義，絕對值不等式的解法．學生靈活運用圓的切線垂直于過切點的直徑，掌握圓中的一些基本性質，靈活運用直角三角形的邊角關系化簡求值，是一道綜合題．