Question

已知函數(shù)f（x）=1+

m

ex+1

，若?a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）為某一個(gè)三角形的邊長，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　　）

• A、[-

  1

  2

  ，0]
• B、[0，1]
• C、[1，2]
• D、[-

  1

  2

  ，1]

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意可得則f（a）+f（b）＞f（c）對任意的a、b、c∈R恒成立，將f（x）解析式用分離常數(shù)法變形，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的值域，然后討論m轉(zhuǎn)化為f（a）+f（b）的最小值與f（c）的最大值的不等式，進(jìn)而求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：由題意可得，f（a）+f（b）＞f（c）對任意的a、b、c∈R恒成立，
∵函數(shù)f（x）=1+

m

ex+1

，故當(dāng)m=0時(shí)，f（x）=1，滿足條件．
∴當(dāng)m＞0時(shí)，函數(shù)f（x）在R上是減函數(shù)，函數(shù)的值域?yàn)椋?，1+m）；
故f（a）+f（b）＞2，f（c）＜1+m，∴1+m≤2，即 m≤1①．
當(dāng)m＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，函數(shù)的值域?yàn)椋?+m，1）；
故f（a）+f（b）＞2+2m，f（c）＜1，∴2+2m≥1，m≥-

1

2

 ②．
由①②可得-

1

2

≤m≤1，
故選：D．

點(diǎn)評：本題主要考查了求參數(shù)的取值范圍，以及構(gòu)成三角形的條件和利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域，同時(shí)考查了分類討論的思想，屬于難題．