Question

已知函數，；

（1）求在處的切線方程；

（2）若有唯一解，求的取值范圍；

（3）是否存在實數，使得與在上均為增函數，若存在求出的范圍，若不存在請說明理由

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）或     （3）不存在實數 

【解析】本試題主要考查了導數的概念和導數的運算，以及導數的幾何意義的運用，并利用導數研究函數的單調性和函數的零點問題的綜合運用試題。

（1）先求解導數，利用點斜式寫出切線方程。

（2）原方程等價于，令

  則函數與在軸右側有唯一交點。轉化為圖像與圖像的交點來處理。

（3）分別分析函數的單調區間，然后結合結論，判定都是單調增函數時的參數的取值范圍

解：（1）；  ……………3分

（2）原方程等價于，令

  則函數與在軸右側有唯一交點。

  當或時 ，當時

在上單調遞減，在上單調遞增。

時有極小值，時有極大值

當有唯一解時或      ……………8分

（3），

當時 ，當時

在上單調遞減，在上單調遞增。

在上單調遞減，在上單調遞增。

與在上單調遞增， 使得與在上均為增函數則滿足，不等式組無解，故不存在實數