Question

【題目】已知定點，圓，點為圓上動點，線段的垂直平分線交于點，記的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）過點與作平行直線和，分別交曲線于點、和點、，求四邊形面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由中垂線的性質得，可得出，符合橢圓的定義，可知曲線是以、為焦點的橢圓，由此可得出曲線的方程；

（2）設直線的方程為，設點、，將直線的方程與曲線的方程聯立，列出韋達定理，利用弦長公式計算出，同理得出，并計算出兩平行直線、的距離，可得出四邊形的面積關于的表達式，然后利用雙勾函數的單調性可求出四邊形面積的最大值.

（1）由中垂線的性質得，，

所以，動點的軌跡是以、為焦點，長軸長為的橢圓，

設曲線的方程為，則，，

因此，曲線的方程為:；

（2）由題意，可設的方程為，

聯立方程得，

設、，則由根與系數關系有，

所以，

同理，與的距離為，

所以，四邊形的面積為，

令，則，得，

由雙勾函數的單調性可知，函數在上為增函數，

所以，函數在上為減函數，

當且僅當，即時，四邊形的面積取最大值為.