Question

正四棱錐P-ABCD的五個頂點在同一個球面上，若該正四棱錐的底面邊長為2，側棱長為

6

，則此球的體積為

9

2

π

．

Answer 1

分析：設球半徑為R，底面中心為O'且球心為O．正四棱錐P-ABCD中根據AB=2且PA=

6

，算出AO'=

2

、PO'=2、OO'=2-R，在Rt△AOO′中利用勾股定理建立關于R的等式，解出R=

3

2

，再利用球的體積公式即可得到外接球的體積．

解答：解：如圖所示，設球半徑為R，底面中心為O'且球心為O，
∵正四棱錐P-ABCD中AB=2，PA=

6

，
∴AO'=

2

2

AB=

2

，可得PO'=

PA2-AO′2

=2，OO'=PO'-PO=2-R．
∵在Rt△AOO'中，AO²=AO'²+OO'²，
∴R²=（

2

）²+（2-R）²，解之得R=

3

2

，
因此可得外接球的體積V=

4

3

πR³=

4

3

π•(

3

2

)3=

9

2

π．
故答案為：

9

2

π

點評：本題給出正四棱錐的形狀，求它的外接球的體積，著重考查了正棱錐的性質、多面體的外接球、勾股定理與球的體積公式等知識，屬于中檔題．