Question

【題目】已知函數f（x）=|2x+1|﹣|x|﹣2 （Ⅰ）解不等式f（x）≥0
（Ⅱ）若存在實數x，使得f（x）≤|x|+a，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函數f（x）=|2x+1|﹣|x|﹣2= ，

當x＜﹣ 時，由﹣x﹣3≥0，可得x≤﹣3．

當﹣ ≤x＜0時，由3x﹣1≥0，求得 x∈．

當x≥0時，由x﹣1≥0，求得 x≥1．

綜上可得，不等式的解集為{x|x≤﹣3 或x≥1}．

（Ⅱ）f（x）≤|x|+a，即|x+ |﹣|x|≤ +1①，由題意可得，不等式①有解．

由于|x+ |﹣|x|表示數軸上的x對應點到﹣ 對應點的距離減去它到原點的距離，故|x+ |﹣|x|∈[﹣ ， ]，

故有 +1≥﹣ ，求得a≥﹣3

【解析】（Ⅰ）化簡函數的解析式，分類討論，求得不等式的解集．（Ⅱ）不等式即|x+ |﹣|x|≤ +1①，由題意可得，不等式①有解．根據絕對值的意義可得|x+ |﹣|x|∈[﹣ ， ]，故有 +1≥﹣ ，由此求得a的范圍．